Resolvedor de similaridade dinâmica para EDPs

A equação de KdV $u_t + 6u\,u_x + u_{xxx} = 0$ admite uma solução auto-similar onde a combinação relevante de variáveis é $\eta = x\,t^{-1/3}$ e a amplitude decai como $t^{-2/3}$. Esses expoentes decorrem da exigência de que cada termo da EDP escale de forma idêntica, uma restrição que se reduz a um sistema linear; calculá-la à mão implica confrontar termo a termo, e a álgebra é suficientemente sujeita a erros para que reduções válidas frequentemente passem despercebidas.

O pacote automatiza isso por meio do método de dilatação: atribui um expoente de escala formal a cada variável e termo, escreve a restrição de invariância como um sistema linear nesses expoentes, e lê a EDO reduzida diretamente do espaço nulo desse sistema linear. Não é necessário adivinhar nem varrer potências candidatas; se existe uma similaridade de lei de potência, o método a encontra exatamente. Um invólucro baseado em strings (find_similarity_v2) também está disponível para usuários que preferem não trabalhar diretamente com expressões de Symbolics.jl.

using SimilaritySolver, Symbolics

@variables x t u(..)
Dt = Differential(t); Dx = Differential(x)
kdv = Dt(u(x,t)) + 6*u(x,t)*Dx(u(x,t)) + Dx(Dx(Dx(u(x,t))))

results = find_ode_dilation(kdv; indep_vars=[x,t], dep_vars=[u(x,t)])
# results[1]["similarity_variable"]  =>  x * t^(-1//3)
# results[1]["gamma"]                =>  -2//1   (u escala como t^(-2/3))

O método retorna todas as reduções de similaridade válidas, não apenas uma. Atualmente lida com duas variáveis independentes com escalamentos de lei de potência; a extensão para três ou mais variáveis e para simetrias não de lei de potência (logarítmicas, espirais) está em andamento.