Solucionador de similitud dinámica para EDPs
Búsqueda simbólica de reducciones de escala de EDP → EDO
La ecuación de KdV $u_t + 6u\,u_x + u_{xxx} = 0$ admite una solución auto-similar donde la combinación relevante de variables es $\eta = x\,t^{-1/3}$ y la amplitud decae como $t^{-2/3}$. Esos exponentes se derivan de exigir que cada término de la EDP escale de forma idéntica, una restricción que se reduce a un sistema lineal; calcularlo a mano implica comparar término a término, y el álgebra es lo suficientemente propensa a errores como para que reducciones válidas pasen frecuentemente desapercibidas.
El paquete automatiza esto mediante el método de dilatación: asigna un exponente de escala formal a cada variable y término, escribe la restricción de invariancia como un sistema lineal en esos exponentes, y lee la EDO reducida directamente del espacio nulo de ese sistema lineal. No es necesario adivinar ni explorar potencias candidatas; si existe una similitud de ley de potencia, el método la encuentra exactamente. También hay disponible un envoltorio basado en cadenas de texto (find_similarity_v2) para usuarios que prefieren no trabajar directamente con expresiones de Symbolics.jl.
using SimilaritySolver, Symbolics
@variables x t u(..)
Dt = Differential(t); Dx = Differential(x)
kdv = Dt(u(x,t)) + 6*u(x,t)*Dx(u(x,t)) + Dx(Dx(Dx(u(x,t))))
results = find_ode_dilation(kdv; indep_vars=[x,t], dep_vars=[u(x,t)])
# results[1]["similarity_variable"] => x * t^(-1//3)
# results[1]["gamma"] => -2//1 (u escala como t^(-2/3))
El método devuelve todas las reducciones de similitud válidas, no solo una. Actualmente maneja dos variables independientes con escalas de ley de potencia; la extensión a tres o más variables y a simetrías no de ley de potencia (logarítmicas, espirales) está en curso.