Similaridade por construção: automatize reduções de EDP → EDO

Muitos problemas de transporte e fluidos escondem uma simetria de escala. Quando ela existe, uma mudança de variáveis colapsa a EDP para uma EDO (difusão, camada limite de Blasius, filmes finos). Esta ferramenta Julia automatiza essa busca: ela testa uma família de ansätze de similaridade, resolve para expoentes, reduz a EDP e transforma condições de contorno.

O que ela faz

• Analisa uma sintaxe de EDP restrita (campos, derivadas).
• Busca variáveis de similaridade ( \eta = x^{a_1} y^{a_2} t^{a_3} ), ( u = x^{b_1} y^{b_2} t^{b_3} f(\eta) ) (variantes 1–2D).
• Resolve equações de balanço de expoentes para que todos os termos da EDP sejam escalados de forma idêntica.
• Reduz: substitui o ansatz, cancela fatores e retorna uma EDO em (\eta).
• Transforma CAs/CIs em condições em ( f(\eta) ).
• Emite artefatos: expoentes, mapa de similaridade, EDO reduzida, CAs transformadas como expressões Julia.

Construído em Symbolics.jl; as saídas alimentam diretamente seu integrador de EDO.

Esboço do método

1. Tokeniza e diferencia simbolicamente a EDP.
2. Anexa pesos de escala a variáveis e derivadas.
3. Iguala expoentes entre os termos → pequeno sistema linear em (a_i,b_i).
4. Se for solucionável, substitui e simplifica para uma EDO em (\eta).
5. Verifica a dependência apenas em (\eta); caso contrário, relata “sem redução de escala”.

Exemplo

Equação do calor com decaimento linear: [ u_t = \kappa\,u_{xx} - \lambda u,\qquad x\in\mathbb{R},~ t>0. ]

```julia using SimilaritySolver # namespace do pacote pde = @pde du/dt ~ κd2u/dx2 - λu bcs = [“u(±Inf,t)=0”] result = find_similarity(pde, bcs; vars=[:x,:t], field=:u)