🌀 Desvendando EDPs com Similaridade: Automatizando um Truque Clássico da Física

Em mecânica dos fluidos, transferência de calor ou mesmo dinâmica populacional, muitos problemas começam com uma equação diferencial parcial (EDP) de aparência complicada. Mas, às vezes, há um truque oculto – uma manobra física ancestral – que transforma uma EDP complexa em uma equação diferencial ordinária (EDO) muito mais simples. Esse truque é chamado de similaridade dinâmica.

Este pacote Julia ajuda você a automatizar a busca por essas transformações – usando computação simbólica e um toque de elegância matemática.

O Que é Similaridade, Realmente?

Soluções de similaridade surgem quando você pode reescrever uma EDP em termos de uma nova variável (como ( \eta = y / \sqrt{x} )) que combina espaço e tempo em uma única coordenada. Isso colapsa um problema 2D ou 3D em 1D, tornando-o muito mais fácil de analisar ou resolver.

Você provavelmente já viu isso em camadas limite (Blasius), difusão (função erro) ou propagação de ondas. A ideia é: se a física “escalar” da maneira certa, então a solução também deve escalar.

Mas encontrar a substituição certa nem sempre é óbvio. É aí que esta ferramenta entra.

🔧 O Que Esta Ferramenta Faz

Este pacote Julia:

Analisa EDPs simbólicas como "du/dt + 6*u*du/dx + d3u/d3x = 0"
Verifica se existe uma mudança de variáveis (( \eta = x y^m ), ( u = x^n f(\eta) )) que simplifica a equação
Retorna uma EDO reduzida, se bem-sucedido
Analisa e transforma condições de contorno também
Imprime todas as substituições e formas simbólicas utilizadas

É construído usando Symbolics.jl, o motor simbólico para a linguagem Julia.

✨ Exemplo: Reduza uma EDP para uma EDO

result = find_similarity("du/dt + 6 * u * du/dx + d3u/d3x = 0", "u(x=Inf, t) = 0")

# Output:
# → variável de similaridade η = x * t^m
# → palpite de solução u = x^n * f(η)
# → EDO simplificada retornada!

Você não precisa calcular derivadas manualmente ou tentar uma dúzia de substituições. Esta função automatiza tudo isso para você.

📘 Para Quem É Isso?

Esta ferramenta é para:

Estudantes de engenharia que estudam transporte, ondas ou mecânica dos fluidos
Matemáticos aplicados explorando simetria e escalonamento
Qualquer pessoa tentando reduzir simbolicamente EDPs a algo tratável

🧠 Por Trás das Câmeras

Ele usa diferenciação simbólica para testar se uma substituição “elimina” a dependência da EDP em ( x ), ( y ) ou ( t )
Se sim, simplifica o resultado e verifica se parece uma EDO
Ele tenta uma grade de potências possíveis ( n, m ) usando palpites racionais
Ele até analisa operadores diferenciais como d2x/dy de strings