Similitud por construcción: automatizar reducciones de EDP → EDO

Muchos problemas de transporte y fluidos esconden una simetría de escala. Cuando existe, un cambio de variables colapsa la EDP en una EDO (difusión, capa límite de Blasius, películas delgadas). Esta herramienta de Julia automatiza esa búsqueda: prueba una familia de ansätze de similitud, resuelve los exponentes, reduce la EDP y transforma las condiciones de contorno.

Qué hace

• Analiza una sintaxis de EDP restringida (campos, derivadas).
• Busca variables de similitud ( \eta = x^{a_1} y^{a_2} t^{a_3} ), ( u = x^{b_1} y^{b_2} t^{b_3} f(\eta) ) (variantes 1–2D).
• Resuelve ecuaciones de balance de exponentes para que todos los términos de la EDP se escalen de manera idéntica.
• Reduce: sustituye el ansatz, cancela factores y devuelve una EDO en (\eta).
• Transforma las condiciones de contorno/iniciales en condiciones sobre ( f(\eta) ).
• Emite artefactos: exponentes, mapa de similitud, EDO reducida, condiciones de contorno transformadas como expresiones de Julia.

Construido sobre Symbolics.jl; las salidas se alimentan directamente a su integrador de EDO.

Esquema del método

1. Tokeniza y diferencia simbólicamente la EDP.
2. Asigna pesos de escala a las variables y derivadas.
3. Iguala los exponentes entre los términos → pequeño sistema lineal en (a_i,b_i).
4. Si es resoluble, sustituye y simplifica a una EDO en (\eta).
5. Verifica la dependencia solo de (\eta); de lo contrario, informa “sin reducción de escala”.

Ejemplo

Ecuación de calor con decaimiento lineal: [ u_t = \kappa\,u_{xx} - \lambda u,\qquad x\in\mathbb{R},~ t>0. ]

```julia using SimilaritySolver # espacio de nombres del paquete pde = @pde du/dt ~ κd2u/dx2 - λu bcs = [“u(±Inf,t)=0”] result = find_similarity(pde, bcs; vars=[:x,:t], field=:u)