🌀 Descifrando las EDPs con Similitud: Automatizando un Truco Clásico de la Física

En mecánica de fluidos, transferencia de calor o incluso dinámica de poblaciones, muchos problemas comienzan con una ecuación diferencial parcial (EDP) de aspecto complicado. Pero a veces, hay un truco oculto, un movimiento antiguo de la física, que transforma una EDP compleja en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) mucho más simple. Ese truco se llama similitud dinámica.

Este paquete de Julia te ayuda a automatizar la búsqueda de esas transformaciones, utilizando computación simbólica y un toque de elegancia matemática.

¿Qué es la Similitud, Realmente?

Las soluciones de similitud surgen cuando puedes reescribir una EDP en términos de una nueva variable (como ( \eta = y / \sqrt{x} )) que combina espacio y tiempo en una sola coordenada. Esto colapsa un problema 2D o 3D en 1D, haciéndolo mucho más fácil de analizar o resolver.

Probablemente lo hayas visto en capas límite (Blasius), difusión (función error) o propagación de ondas. La idea es: si la física “escala” de la manera correcta, entonces también debería hacerlo la solución.

Pero encontrar la sustitución correcta no siempre es obvio. Ahí es donde entra esta herramienta.

🔧 Qué Hace Esta Herramienta

Este paquete de Julia:

• Analiza EDPs simbólicas como "du/dt + 6*u*du/dx + d3u/d3x = 0"
• Comprueba si existe un cambio de variables (( \eta = x y^m ), ( u = x^n f(\eta) )) que simplifique la ecuación
• Devuelve una EDO reducida si tiene éxito
• Analiza y transforma también las condiciones de contorno
• Muestra todas las sustituciones y formas simbólicas utilizadas

Está construido utilizando Symbolics.jl, el motor simbólico para el lenguaje Julia.

✨ Ejemplo: Reducir una EDP a una EDO

result = find_similarity("du/dt + 6 * u * du/dx + d3u/d3x = 0", "u(x=Inf, t) = 0")

# Output:
# → variable de similitud η = x * t^m
# → suposición de solución u = x^n * f(η)
# → ¡EDO simplificada devuelta!

No necesitas calcular manualmente derivadas ni probar una docena de sustituciones. Esta función automatiza todo eso por ti.

📘 ¿Para Quién Es Esto?

Esta herramienta es para:

• Estudiantes de ingeniería que estudian transporte, ondas o mecánica de fluidos
• Matemáticos aplicados que exploran la simetría y el escalamiento
• Cualquiera que intente reducir simbólicamente las EDPs a algo manejable

🧠 Detrás de las Cámaras

• Utiliza la diferenciación simbólica para probar si una sustitución “elimina” la dependencia de la EDP en ( x ), ( y ) o ( t )
• Si es así, simplifica el resultado y comprueba si se parece a una EDO
• Prueba una cuadrícula de posibles potencias ( n, m ) utilizando conjeturas racionales
• Incluso analiza operadores diferenciales como d2x/dy de cadenas de texto

📌 Pruébalo

¿Quieres verlo en acción o usarlo en tus propios modelos?

🧪 Repositorio de GitHub →

🌍 Por Qué Esto Importa

La similitud no es sólo elegante, es práctica. Aparece en:

• Coeficientes de arrastre que escalan con el número de Reynolds
• Profundidad de penetración del calor en problemas de conducción
• Teoría de la capa límite en aerodinámica

Esta herramienta ayuda a democratizar ese poder, haciéndolo accesible a estudiantes, profesores e investigadores por igual.

La próxima vez que te enfrentes a una EDP difícil… tal vez sólo necesite el cambio de variable correcto. 🧠➞📉